부분ㆍ전체가 똑같이 반복되는 형태
불규칙한 자연 구조 나타낼 때 사용
세상에는 피라미드처럼 너무 단순해서 아름다운 것도 있지만, 눈송이처럼 무한히 복잡해서 아름다운 것도 있다. 과학자들에게는 모든 아름다움이 심각한 탐구의 대상이 된다. 남들처럼 그저 느끼고 감탄하는 것만으로는 만족하지 못한다는 뜻이다. 과학자들은 우리가 감동을 느끼는 이유를 기어이 밝혀내야만 성이 풀리게 된다.
단순해서 아름다운 모양에 대한 분석은 이미 오래 전에 이뤄졌다. 기원전 4세기경에 알렉산드리아에서 활동했던 에우클레이데스가 점과 선과 면으로 구성된 기하학적 도형과 입체에서 발견되는 진리를 집대성 한 `유클리드 기하학'이 바로 그것이다. 그런 도형들은 직선, 평면, 입체로 명백하게 구분되고, 유한한 둘레(길이), 면적, 부피를 갖는다. 더욱이 그런 도형들은 크기를 절반으로 줄이면, 길이는 절반, 면적은 4분의 1, 부피는 8분의 1로 줄어드는 공통적인 특성을 가지고 있다. 그런 유클리드 구조는 모두 정수에 해당하는 차원을 갖는다. 직선은 1차원, 평면에서의 도형은 2차원, 공간에서의 입체는 3차원이다.
그런데 세상에는 유클리드 기하학으로 설명할 수 없을 정도로 복잡하고 불규칙적인 도형이나 구조가 있다. 하늘에 떠 있는 뭉개 구름, 멋대로 뻗어 버린 것 같은 나뭇가지와 강줄기, 바람에 따라 수시로 모양이 바뀌는 사막의 모래 무늬, 나뭇잎의 오묘한 무늬, 한없이 울퉁불퉁한 해안선, 마구 솟아오르고 꺼져버린 산악지방의 지형, 실타래처럼 엉겨있는 우리 몸 안의 혈관. 우리 주변에서 그런 예는 수도 없이 발견된다. 자연에서 유클리드 구조는 결코 일상적인 것이 아니라는 뜻이다.
너무나도 무작위적이고 불규칙적이라는 점을 빼면 아무런 공통점도 찾기 어려울 것 같은 그런 모양에도 수학적인 진리가 담겨 있다. 폴란드 출생의 수학자 브누어 만델브로가 1975년에 밝혀낸 `프랙탈' 기하학이 바로 그것이다. 프랙탈은 `부서진'이라는 뜻을 가진 라틴어 `fractus'를 변형시킨 것으로 우리말로는 `분차원'(分次元) 또는 `부분차원'으로 옮겨진다.
프랙탈 구조는 유클리드 구조와는 전혀 다른 특징을 나타낸다. 예를 들어, 축척이 큰 지도에서 해안선은 지극히 단순해서 길이가 짧다. 그러나 토지의 소유권을 관리하는 지적도에 그려진 해안선은 매우 불규칙적이고 길이도 훨씬 길다. 모래알 단위로 해안선을 측정하면 그 길이가 더욱 늘어나서 무한히 길어진다. 그렇다고 해안선으로 둘러싸인 육지의 면적이 무한히 넓어지는 것은 아니다. 실제로 해안선의 모양을 수학적으로 분석하면 차원(次元)이 정수가 아닌 1.33으로 나타난다.
프랙탈 구조 중에는 똑같은 모양이 반복되는 `자기 유사성'을 나타내는 경우도 있다. 컴퓨터로 형상화 한 눈송이의 가지는 아무리 확대해도 똑같은 형식의 모양이 반복되어 나타난다. 그리고 삼각형의 각 변을 길이에 비례해서 변형시키는 작업을 무한히 반복하면 놀라울 정도로 아름다우면서 복잡한 도형이 얻어진다. 그렇게 얻어진 도형은 충격적일 정도로 복잡하고 아름답다. 요즘은 컴퓨터를 이용해서 만든 프랙탈 도형은 다양한 목적으로 활용되고 있다.
물론 프랙탈 기하학의 진짜 중요한 용도는 따로 있다. 프랙탈 기하학은 최근에 새롭게 등장하고 있는 복잡성의 과학을 설명하는 중요한 수학적 도구로 활용되고 있다. 오늘날 많은 사람들이 걱정하고 있는 날씨의 변화가 대표적인 경우다.
미세한 요동(搖動)이 증폭돼 결정적인 역할을 하게 되는 경우에는 미래를 확실하게 예측하는 일이 근원적으로 불확실하게 된다. 프랙탈 기하학은 가장 대표적인 복잡계인 자연의 미래를 알아내는 일이 언제나 가능한 것이 아님을 알려주고 있다.
불규칙한 자연 구조 나타낼 때 사용
세상에는 피라미드처럼 너무 단순해서 아름다운 것도 있지만, 눈송이처럼 무한히 복잡해서 아름다운 것도 있다. 과학자들에게는 모든 아름다움이 심각한 탐구의 대상이 된다. 남들처럼 그저 느끼고 감탄하는 것만으로는 만족하지 못한다는 뜻이다. 과학자들은 우리가 감동을 느끼는 이유를 기어이 밝혀내야만 성이 풀리게 된다.
단순해서 아름다운 모양에 대한 분석은 이미 오래 전에 이뤄졌다. 기원전 4세기경에 알렉산드리아에서 활동했던 에우클레이데스가 점과 선과 면으로 구성된 기하학적 도형과 입체에서 발견되는 진리를 집대성 한 `유클리드 기하학'이 바로 그것이다. 그런 도형들은 직선, 평면, 입체로 명백하게 구분되고, 유한한 둘레(길이), 면적, 부피를 갖는다. 더욱이 그런 도형들은 크기를 절반으로 줄이면, 길이는 절반, 면적은 4분의 1, 부피는 8분의 1로 줄어드는 공통적인 특성을 가지고 있다. 그런 유클리드 구조는 모두 정수에 해당하는 차원을 갖는다. 직선은 1차원, 평면에서의 도형은 2차원, 공간에서의 입체는 3차원이다.
그런데 세상에는 유클리드 기하학으로 설명할 수 없을 정도로 복잡하고 불규칙적인 도형이나 구조가 있다. 하늘에 떠 있는 뭉개 구름, 멋대로 뻗어 버린 것 같은 나뭇가지와 강줄기, 바람에 따라 수시로 모양이 바뀌는 사막의 모래 무늬, 나뭇잎의 오묘한 무늬, 한없이 울퉁불퉁한 해안선, 마구 솟아오르고 꺼져버린 산악지방의 지형, 실타래처럼 엉겨있는 우리 몸 안의 혈관. 우리 주변에서 그런 예는 수도 없이 발견된다. 자연에서 유클리드 구조는 결코 일상적인 것이 아니라는 뜻이다.
너무나도 무작위적이고 불규칙적이라는 점을 빼면 아무런 공통점도 찾기 어려울 것 같은 그런 모양에도 수학적인 진리가 담겨 있다. 폴란드 출생의 수학자 브누어 만델브로가 1975년에 밝혀낸 `프랙탈' 기하학이 바로 그것이다. 프랙탈은 `부서진'이라는 뜻을 가진 라틴어 `fractus'를 변형시킨 것으로 우리말로는 `분차원'(分次元) 또는 `부분차원'으로 옮겨진다.
프랙탈 구조는 유클리드 구조와는 전혀 다른 특징을 나타낸다. 예를 들어, 축척이 큰 지도에서 해안선은 지극히 단순해서 길이가 짧다. 그러나 토지의 소유권을 관리하는 지적도에 그려진 해안선은 매우 불규칙적이고 길이도 훨씬 길다. 모래알 단위로 해안선을 측정하면 그 길이가 더욱 늘어나서 무한히 길어진다. 그렇다고 해안선으로 둘러싸인 육지의 면적이 무한히 넓어지는 것은 아니다. 실제로 해안선의 모양을 수학적으로 분석하면 차원(次元)이 정수가 아닌 1.33으로 나타난다.
프랙탈 구조 중에는 똑같은 모양이 반복되는 `자기 유사성'을 나타내는 경우도 있다. 컴퓨터로 형상화 한 눈송이의 가지는 아무리 확대해도 똑같은 형식의 모양이 반복되어 나타난다. 그리고 삼각형의 각 변을 길이에 비례해서 변형시키는 작업을 무한히 반복하면 놀라울 정도로 아름다우면서 복잡한 도형이 얻어진다. 그렇게 얻어진 도형은 충격적일 정도로 복잡하고 아름답다. 요즘은 컴퓨터를 이용해서 만든 프랙탈 도형은 다양한 목적으로 활용되고 있다.
물론 프랙탈 기하학의 진짜 중요한 용도는 따로 있다. 프랙탈 기하학은 최근에 새롭게 등장하고 있는 복잡성의 과학을 설명하는 중요한 수학적 도구로 활용되고 있다. 오늘날 많은 사람들이 걱정하고 있는 날씨의 변화가 대표적인 경우다.
미세한 요동(搖動)이 증폭돼 결정적인 역할을 하게 되는 경우에는 미래를 확실하게 예측하는 일이 근원적으로 불확실하게 된다. 프랙탈 기하학은 가장 대표적인 복잡계인 자연의 미래를 알아내는 일이 언제나 가능한 것이 아님을 알려주고 있다.
